FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ANGULO
En el artículo 4 se
definieron las seis funciones trigonométricas para los ángulos agudos .Ahora,
en cambio vamos a dar unas definiciones que se puede aplicar a cualquier
ángulo, y que concuerdan con las definiciones ya dadas ya dadas para los
ángulos agudos.
Tomemos el origen de coordenadas como el vértice del ángulo
y el lado inicial como eje Dibujemos un ángulo XOB en cada cuadrante.
Sea P un punto cualquiera del lado final OB del ángulo y sea
(X,y)sus coordenadas. En todas las figura, se verifica
OQ=x, Qp=y, OP=r
OP2= OQ2 +QP2.
La longitud OP la llamaremos radio.
Sustituyendo y extrayendo raíz cuadrada, obtenemos
R= __---------------
----- xª+yª
Designando el ángulo en cada figura por XOB, las
definiciones de las funciones son:
Ordenada y
(7)
sen XOB =
----------------- = ----
Radio
x
Abscisa x
(8)
cos XOB =
----------------- = ----
Radio
r
Ordenada y
(9)
tg XOB =
----------------- = ----
Abscisa x
Abscisa x
(10)
ctg XOB = -----------------
= ----
Ordenada y
Radio
r
(11) sec XOB = ----------------- = ----
Abscisa
x
Radio r
(12)
csc XOB =
----------------- = ----
Ordenada
y
Estas definiciones aplicadas al angulo XON en el primer
cuadrante concuerdan con las dadas en el articulo4 . Dos cosas deben observarse
en las definiciones anteriores:
1)
El valor de cada una de las razones anteriores
es independiente de la posición de P sobre OB, (Se demuestra como en el
artuclo4).
2)
Los valores de las funciones anteriores depende
en cualquier caso solamente de la posición del lado final OB (siendo fijo el
lado inicial OX .Es decir tomando OX
como el lado inicial común, para todos los ángulos que tengan el mismo
lado final OB las funciones trigonométricas tendrán los mismo valores. Así por
ejemplo los ángulos de 40,400,-320, tienes las mismas funciones. Las
definiciones (7),(12) son fundamentales y deben aprenderse de memoria.
3)
Otras tres funciones usadas son el seno verso
(vers), el coseno verso,(cov), y la mitad del seno verso. Estas están definidas
por las igualdades seno verso XOB=1/2 (1cos XOB)=1/2 seno verso XOB.
La definiciones (7)a(12), se desprende, como en el Articulo4
,que
El seno es reciproco de las cosecante
La tangente es el
reciproco de la cotangente
El coseno es el reciproco de la secante
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