FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE CUALQUIER ANGULO

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ANGULO
En el artículo 4  se definieron las seis funciones trigonométricas para los ángulos agudos .Ahora, en cambio vamos a dar unas definiciones que se puede aplicar a cualquier ángulo, y que concuerdan con las definiciones ya dadas ya dadas para los ángulos agudos.   
Tomemos el origen de coordenadas como el vértice del ángulo y el lado inicial como eje Dibujemos un ángulo  XOB en cada cuadrante.
Sea P un punto cualquiera del lado final OB del ángulo y sea (X,y)sus coordenadas. En todas las figura, se verifica
OQ=x, Qp=y, OP=r
OP2= OQ2 +QP2.

La longitud OP la llamaremos radio.
Sustituyendo y extrayendo raíz cuadrada, obtenemos


                                    R=             __---------------
                                               -----      xª+yª    



Designando el ángulo en cada figura por XOB, las definiciones de las funciones son:
                              Ordenada            y
(7)        sen  XOB = ----------------- = ----
                                Radio                x




                                Abscisa               x
(8)        cos  XOB = ----------------- = ----
                                Radio                r
                            

  Ordenada            y
(9)        tg  XOB = ----------------- = ----
                                 Abscisa               x
                          

          Abscisa              x
(10)        ctg  XOB = ----------------- = ----
                                   Ordenada         y     

          Radio              r
(11)        sec  XOB = ----------------- = ----
                                   Abscisa           x    

          Radio              r
(12)        csc  XOB = ----------------- = ----
                                   Ordenada         y     

Estas definiciones aplicadas al angulo XON en el primer cuadrante concuerdan con las dadas en el articulo4 . Dos cosas deben observarse en las definiciones anteriores:
1)      El valor de cada una de las razones anteriores es independiente de la posición de P sobre OB, (Se demuestra como en el artuclo4).
2)      Los valores de las funciones anteriores depende en cualquier caso solamente de la posición del lado final OB (siendo fijo el lado inicial OX .Es decir tomando OX  como el lado inicial común, para todos los ángulos que tengan el mismo lado final OB las funciones trigonométricas tendrán los mismo valores. Así por ejemplo los ángulos de 40,400,-320, tienes las mismas funciones. Las definiciones (7),(12) son fundamentales y deben aprenderse de memoria.
3)      Otras tres funciones usadas son el seno verso (vers), el coseno verso,(cov), y la mitad del seno verso. Estas están definidas por las igualdades seno verso XOB=1/2 (1cos XOB)=1/2 seno verso XOB.
La definiciones (7)a(12), se desprende, como en el Articulo4 ,que
El seno es reciproco de las cosecante
 La tangente es el reciproco de la cotangente
El coseno es el reciproco de la secante

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